wortelformule of ABC formule  :

De vergelijking  ax² + bx + c = 0  (met a≠0) is de basisvorm van een kwadratische vergelijking. Met behulp van de wortelformule of abc-formule kun je elke kwadratische vergelijking oplossen. De oplossingen worden ook de wortels van de vergelijking genoemd.
In de formule speelt D = b² - 4ac   een belangrijke rol, We noemen D discriminant van de vergelijking.
Je kunt 3 gevallen onderscheiden:

  • D > 0    er zijn 2 oplossingen:
    x1,2=-b ± b2 - 4ac2a
  • D = 0    er is precies 1 oplossing:
  •  x=-b2a
  • D < 0    er zijn geen oplossingen.

Elke kwadratische vergelijking kun je schrijven in de vorm van ax²+bx+c=0.  Om de abc-formule te kunnen toepassen moet je dus de getallen voor a, b en c vinden.
Voorbeeld 1:
2x²-5x-3 = 0            Los  de vergelijking op?
1-Schrijf de waarden van a,b en c op die je nodig hebt om met de abc formule de oplossingen te kunnen berekenen:
a=2 ,  b=-5  en  c=-3
2- Bereken nu de waarde van de discriminant D = b²-4ac
D=(-5)²-4·2·(-3) = 25+24
D=49
D > 0, dus er zijn twee oplossingen :
3-Bereken nu de oplossingen met de abc-formule.

x=5+492·2=124=3Ofx=5-492·2=-24=-12

Snijpunten met de coördinaatassen

Gegeven  de kwadratische vergelijking    f(x) = ax² + bx + c  met a ≠ 0
Snijpunten met de x-as: de y-coördinaat is 0. De x-coördinaat volgt uit f(x)=0, dus los je de vergelijking f(x)=0 op.
Snijpunten met de y-as: de x-coördinaat is 0. De y-coördinaat is f(0), dus bereken je f(0).

Aan de discriminant D kun je ook meteen zien hoeveel snijpunten de functie  heeft. Dit kun je uit de volgende gegevens afleiden:

Als D > 0 dan heeft de parabool dus twee snijpunten met de x-as.
Als D = 0 dan is er één snijpunt met de x-as.
Als D < 0 dan heeft de parabool helemaal geen snijpunten met de x-as, dus dan ligt hij er in zijn geheel boven of onder.

Het getal a, verandert de vorm van de parabool                                                                               abc-formule
Is a positief, dan spreken we van een dalparabool
Is a negatief, dan spreken we over een bergparabool
er zijn dus twee soorten parabolen, berg en dalparabolen, van deze parabolen kun je de coördinaten van de top berekenen:
Top van een parabool
De top van een parabool heeft twee coordinaten: Xtop en Ytop
Xtop = -b/2a
Om Ytop te berekenen moet je eerst Xtop berekenen.
De y-coördinaat van die top kun je daarna makkelijk vinden door Xtop in de formule van de parabool in te vullen: Ytop = f (Xtop).
Voorbeeld 2:
Voor het berekenen van de coördinaten van de top van f(x) = 3x² - 6x + 1 gebruik je:    Xtop = -b/2a
a = 3, b = -6  en  c = 1
Xtop = -b/2a = -(-6)/2·3 = 1
Ytop = 3·1² - 6·1 + 1 = -2
Je weet nu dus de coördinaten van de top van deze parabool: (1,-2)

Ontbinden in factoren
Zodra u de wortels van  een kwadratische vergelijking hebt berekend, is er iets heel eenvoudig dat je kunt doen: Ontbinden in factoren.
Het principe is dit: stel je hebt  f(x) = ax² + bx + c
Als de discriminant D > 0 en je hebt  de 2 wortels van de vergelijking berekend x1 en x2, je kunt dan zeggen:
f(x) = a(x-x1)(x-x2)
Als de discriminant D = 0 dan kun je schrijven f(x) = a(x-x1
Als de discriminant D < 0  er is geen  wortels voor de vergelijking, vervolgen is er ook geen vorm voor het ontbinden in factoren.

In  Voorbeeld 1:   hebben we 2 wortels van de vergelijking  2x²-5x-3 = 0   gevonden namelijk :
x1= 3    x=-½ vervolgens kunnen we de 3 termen ontbinden in factoren:
2x²-5x-3 = 2(x-3)(x+½)

 

vraag1> Los de vergelijking : -2x² + 20x + 2 = 0 op.








vraag2>Los de vergelijking :  x² + x - 6 = 0 op.




vraag3>Ontbind in factoren de volgende kwadratische vergelijking 3x² + 5x - 12 = 0  (gebruik de ABC-formule)







vraag4> Los de kwadratische vergelijking x² - x - 6 = 0 op.